Study Notes

Linear Algebra

É o ramo da matemática que lida com equações lineares (podendo ser equações lineares algébricas ou diferenciais).

uma linguagem que descreve o espaço

Corpo

Em inglês, Field, é um conjunto K\mathbb{K} e duas operações binárias básicas:

  • Adição: +:K×K→K+:\mathbb{K} \times \mathbb{K} \to \mathbb{K}
  • Multiplicação: ⋅:K×K→K\cdot : \mathbb{K} \times \mathbb{K} \to \mathbb{K}. De modo que (K,+,⋅)(\mathbb{K}, +, \cdot) possuí certas propriedades.

Axiomas

  • Associatividade da adição. a+(a+c)=(a+b)+c,∀a,b,c∈Ka+(a+c)=(a+b)+c,\forall a,b,c \in \mathbb{K}.
  • Existências de elemento neutro na adição. ∃0∈K∣0+a=a+0=a,∀a∈K\exists 0 \in \mathbb{K} \mid 0+a=a+0=a, \forall a \in \mathbb{K}
  • Existências de inverso aditivo. ∀a∈K,∃b∈K∣a+b=b+a=0\forall a \in \mathbb{K}, \exists b \in \mathbb{K} \mid a+b=b+a=0.
  • Comutatividade da adição. a+b=b+aa+b=b+a.
  • Associatividade da multiplicação. ∃1∈K∣1⋅a=a⋅1=a,∀a∈K\exists 1 \in \mathbb{K} \mid 1 \cdot a=a \cdot 1 = a, \forall a \in \mathbb{K}.
  • Existências de elemento neutro na multiplicação. a+(a+c)=(a+b)+c,∀a,b,c∈Ka+(a+c)=(a+b)+c,\forall a,b,c \in \mathbb{K}.
  • Existências de inverso multiplicativo. ∀a∈K−{0},∃b∈K∣a⋅b=b⋅a=1\forall a \in \mathbb{K}-\{0\}, \exists b \in \mathbb{K} \mid a \cdot b = b \cdot a = 1.
  • Comutatividade da multiplicação. a⋅b=b⋅a,∀a,b∈Ka \cdot b = b \cdot a, \forall a,b \in \mathbb{K}.
  • Distributividade à esquerda. a⋅(a+b)=a⋅b+a⋅c,∀a,b,c∈Ka \cdot (a+b)=a \cdot b + a \cdot c, \forall a,b,c \in \mathbb{K}.
  • Distributividade à direita. (a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c,∀a,b,c∈K(a+b) \cdot c=a \cdot c + b \cdot c, \forall a,b,c \in \mathbb{K}.

Exemplos de Corpos (K,+,⋅)(\mathbb{K}, +, \cdot)

  • (Q,+,⋅)(\mathbb{Q}, +, \cdot), o corpo dos números racionais. (Le "corpo Q\mathbb{Q}, munido da adição e multiplicação" )
  • (R,+,⋅)(\mathbb{R}, +, \cdot), o corpo dos números reais.
  • (C,+,⋅)(\mathbb{C}, +, \cdot), o corpo dos números complexos.

Exemplos de NÃO Corpos

  • (N,+,⋅)(\mathbb{N}, +, \cdot), os números naturais {0,1,2,3,…}\{0,1,2,3,\ldots\} não possuem inverso aditivo (não existem naturais negativos) e nem inverso multiplicativo (o inverso do 22 seria 0.50.5 e não existe não inteiros neles).
  • (Z,+,⋅)(\mathbb{Z}, +, \cdot), os números inteiros {…−2,−1,0,1,2,…}\{\ldots -2,-1,0,1,2,\ldots\} não possuem inversos multiplicativos.

Notação Usual

É importante explicitar que o jeito mais comum de expressar um corpo (K,+,⋅)(\mathbb{K}, +, \cdot) é fazendo um abuso de linguagem. Dessa forma, para não ficar denso escrever toda a estrutura cada vez, o costume é denotar apenas o conjunto base K\mathbb{K}. Exemplo: ((R2,+,⋅)((\mathbb{R}^2,+,\cdot) para apenas corpo R2\mathbb{R}^2

Espaço Vetorial

Um espaço vetorial sobre o corpo consiste de um conjunto VV munido de uma operação binária de adição e uma multiplicação por escalar. (Chama-se os elementos do corpo de escalares e os elementos do espaço vetorial VV de vetores).

  • Adição: +:V×V→V+:V \times V \to V
  • multiplicação por escalar ⋅:K×V→V\cdot : \mathbb{K} \times V \to V. De modo que (V,K)(V, \mathbb{K}) possuí certas propriedades.

Axiomas

  • Associatividade da adição de vetores. (u+v)+w=u+(v+w),∀u,v,w∈V(u+v)+w=u+(v+w),\forall u,v,w \in \mathbb{V}.
  • Existências do vetor nulo. ∃0∈V∣v+0=0+v=v,∀v∈V\exists 0 \in V \mid v+0=0+v=v, \forall v \in V.
  • Existências de inverso vetorial. ∀v∈V,∃v∈V∣v+u=u+v=0\forall v \in V, \exists v \in V \mid v+u=u+v=0.
  • Comutatividade da adição. u+v=v+u,∀u,v∈Vu+v=v+u, \forall u,v \in V.
  • Distributividade escalar. k⋅(u+v)=k⋅u+k⋅u,∀k∈K,∀u,v∈Vk \cdot (u+v)= k \cdot u + k \cdot u, \forall k \in \mathbb{K}, \forall u,v \in V.
  • Distributividade vetorial. (a+b)⋅v=a⋅v+b⋅v,∀a,b∈K,∀v∈V(a+b) \cdot v=a \cdot v + b \cdot v, \forall a,b \in \mathbb{K}, \forall v \in V.
  • Associatividade com escalar (a⋅b)=a⋅(b⋅v),∀a,b∈K,∀v∈V(a \cdot b) = a \cdot (b \cdot v), \forall a,b \in \mathbb{K}, \forall v \in V.
  • Efeito do escalar unitário. 1⋅v=v,∀v∈V1 \cdot v = v, \forall v \in V.

OBS: para fazer coerência com a escrita matemática, sempre escreva o escalar do lado esquerdo e o vetor do lado direito porque a operação de multiplicação por escalar "pega" uma tupla (k,v)∣k∈K,v∈V(k, v) \mid k \in \mathbb{K}, v \in V e produz um u∈Vu \in V.

  1. Ter elemento neutro

Exemplos de Espaços Vetoriais (V,K)(V, \mathbb{K})

  • ((R2,+,⋅),(Q,+,⋅))((\mathbb{R}^2,+,\cdot), (\mathbb{Q},+,\cdot)), Espaço vetorial sobre o corpo Q\mathbb{Q} (números racionais, aqueles que podem ser representados como frações de inteiros)
  • ((K,+,⋅),(K,+,⋅))((\mathbb{K},+,\cdot), (\mathbb{K},+,\cdot)), todo corpo é um espaço vetorial sob ele mesmo.
  • ((Mn×n(R),+,⋅),(R,+,⋅))((M_{n \times n}(\mathbb{R}),+,\cdot), (\mathbb{R},+,\cdot)), espaço vetorial de todas as matrizes quadradas n×nn \times n com entradas reais, sobre o corpo dos números reais.

Notação Usual

É importante explicitar que o jeito mais comum de denotar um espaço vetorial (V,K)(V, \mathbb{K}) é fazendo um abuso de linguagem. Dessa forma, se fala o espaço vetorial VV sobre K\mathbb{K} já que o corpo normalmente é fixado no contexto.

Espaço Vetorial Euclidiano

Linear Equations

Uma expressão matemática que descreve uma relação de igualdade entre variáveis. Essa expressão quando representada graficamente em um sistema de coordenadas descreve linhas/planos retos. Descrevem uma relação de proporção constante, onde a mudança em uma variável resulta em uma mudança previsível e constante na outra.

a1x1+a2x2+anxn=ba_1x_1 + a_2x_2 + a_nx_n=b

  • aia_i são os coeficientes. valores conhecidos.
  • xix_i são as variáveis/incógnitas. valores desconhecidos.
  • bb é o termo independente/constante.

Exemplos:

  • 4x−8=04x-8=0. uma variável, xx. graficamente seria um único ponto em uma reta. 1D.
  • 2x+3y=62x + 3y = 6. duas variáveis, xx e yy. qualquer par de valores que satisfaça (x,y)(x,y), como (3,0)(3,0) e (0,2)(0,2). Ou seja, {(x,y)∈R∣2x+3y=6}\{(x,y) \in \mathbb{R} \mid 2x+3y=6\}. graficamente representa uma reta em duas dimensões.
  • 5x−y+2z=95x-y+2z=9. três variáveis, xx, yy e zz. {(x,y,z)∈R∣5x−y+2z=9}\{(x,y, z) \in \mathbb{R} \mid 5x-y+2z=9\}

Contraexemplos (equações NÃO lineares):

Uma relação não-linear é aquela em que a mudança em uma variável não produz uma mudança proporcional ou constante na outra. A taxa de variação entre as variáveis muda dependendo dos seus valores.

  • x2+y2=9x^2+y^2=9. {(x,y)∈R∣x2+y2=9}\{(x,y)\in \mathbb{R} \mid x^2 + y^2 = 9\}. xx e yy não possuem uma proporcionalidade linear/constante nesse caso. (y/x≠ky/x \neq k, k sedo uma constante sempre). Na verdade, a proporção aqui muda conforme é tan⁡θ\tan \theta.
  • x⋅y=12x \cdot y=12. Ou seja, (x,y)(x,y) que satisfazem isso, como: {(0.5,24),(1,12),(2,6),(3,4),(4,3),…}\{(0.5, 24), (1, 12), (2, 6), (3, 4), (4,3), \ldots \}. Ou seja, a proporção y/xy/x não é constante/linear.

Função Linear

É um tipo de função (conecta elementos de um domínio a um contradomínio) que segue duas propriedades:

  • Aditividade: f(u+v)=f(u)+f(v)f(u + v) = f(u) + f(v)
  • Homogeneidade: f(k⋅u)=k⋅f(u)f(k \cdot u) = k \cdot f(u)

Uma função linear pura deve obrigatoriamente passar pela origem (0,0)(0,0).

Linear Transformation

É, tecnicamente, uma função linear, mas o termo "transformação" é usado para enfatizar a mudança geométrica ou a manipulação de espaços vetoriais. Seja VV e WW espaços vetoriais sobre um mesmo corpo K\mathbb{K}. (Usando a notação de espaço vetorial mais usual)

T:V→W∣T(αu+βv)=αT(u)+βT(v),∀u,v∈V,∀α,β∈KT: V \to W \mid T(\alpha u + \beta v) = \alpha T(u) + \beta T(v), \forall u,v \in V, \forall \alpha, \beta \in \mathbb{K} Ou seja, TT é uma função que mapeia um espaço vetorial em outro, fazendo isso de forma linear/uniforme (preservando a adição de vetores e a multiplicação por escalar).

Embora transformação ≡\equiv função, a palavra "transformação" sugere pensar/visualizar no movimento que a função (relação de input para output) faz.

O nome "linear" convida a pensar que mantém uma mesma proporção especifica entre cada espaço vetorial (proporcionalidade escalar). Exemplo:

  • T(x,y)=(−y,x)T(x,y)=(-y,x), linear (reflexão)
  • F(x,y)=(x+1,y+2)F(x, y)=(x+1, y+2), NÃO é linear

A partir da definição de que a transformação linear mantém a proporcionalidade escalar, é possível "conhecer" apenas onde i^,j^\hat{i}, \hat{j} (no caso de R2\mathbb{R}^2) pertencentes a VV são mapeados /transformados em WW. A partir disso, se multiplica por pelos escalares. E é aqui que entra a abstração de uma matriz.

Matriz

Uma matriz AA de ordem m×nm \times n sobre um corpo K\mathbb{K} é um arranjo retangular de escalares (elementos do corpo, aij∈K,∀i∈[1..m],∀j∈[1..n]a_{ij} \in \mathbb{K}, \forall i \in [1..m], \forall j \in [1..n]) dispostos mm linhas e nn colunas:

a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix}$$ Como falado anteriormente em [[Linear Algebra#Linear Transformation|linear transformation]], uma matriz $m \times n$ é uma forma de representar uma **função de transformação linear** (definir/estruturar $f_A$). E, ao multiplicarmos por um vetor $x$ é o mesmo que aplicar a função/transformação linear ao vetor ($f_A(x) = Ax$). E, multiplicar uma matriz por outra é o mesmo que fazer uma [[Math#Composition|composição de funções]] ($AB=f_A \circ f_B \text{ e }ABx = (f_A \circ f_B)(x) =f_A(f_B(x))$). Conceitualmente, uma **matriz NÃO é um vetor**. Um vetor é um elemento do [[#Espaço Vetorial]] ($v \in V)$. Uma matriz $A$ é uma representação de uma [[#Linear Transformation|transformação linear]] $f_A$. ## Matriz Aumentada Na AL, quando queremos representar $f(x) = Wx + b$ como uma única operação matricial, construimos uma matriz $[W | b]$ e um vetor $\begin{bmatrix} x \\ 1 \end{bmatrix}$

\begin{bmatrix} z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} w_1 & w_2 & \dots & w_n & b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ \vdots \ x_n \ 1 \end{bmatrix}

undefined

\begin{bmatrix} 0.5 & 2 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix}

F(x,y)=0.5x+2y \text{, (plano laranja)}

$\tilde{x} = \begin{pmatrix} x \\ 1 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2, \quad \tilde{f} = \begin{bmatrix} 0.5 & 2 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} x \ 1 \end{pmatrix} = 0.5x + 2$ (Linha roxa da imagem abaixo). ![[m_augmentaded_02.png]] ## Variável Independente ## Combinação Linear É a **soma de vetores** multiplicados por **escalares**. Uma **expressão**, forma de combinar vetores.

a_1 v_1 + a_2 v_2 + \cdots + a_n v_n

## Produto escalar ## Hadmard Product Multiplicação **Element-wise**. **Exemplo**: $A=[1, 2]$ e $B=[3, 4]$. Então, $A \odot B = [1\cdot3, 2\cdot4] = [3, 8]$. ## Referências - [YT - Álgebra Linear - O que é um corpo?](https://www.youtube.com/watch?v=QtHvRaP8Zc0&list=PLJXArfne8-4XvqzIReKwofDSHDsDgME9i) - [WIKI - Álgebra linear](https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_linear) - [YT - WHAT is the VECTOR PRODUCT Really?](https://youtu.be/mP9T3aSGb2I?si=s7MS6DbIobOWfgdV) - [YT - Vectors | Chapter 1, Essence of linear algebra](https://youtu.be/fNk_zzaMoSs?si=JQaiOrFiyLYWAWj_) - [WIKI - Transformação linear](https://pt.wikipedia.org/wiki/Transforma%C3%A7%C3%A3o_linear)

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