Fourier Transform

É uma operação matemática que decompõe um sinal em suas frequências (mostra todas as frequências que forma o sinal de entrada).

Ao invés de ver como um sinal muda muda sua amplitude ao longo do tempo, a transformada mostra

Sinal

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É uma função que expressa a variação de um valor (amplitude) em função a um ou mais domínios independentes.

Relembrando

Período

É o menor intervalo positivo do domínio independente no qual o sinal se repete exatamente. Exemplos:

• Sinal temporal: T = 0,02 s → oscilação completa a cada 20 ms.
• Imagem: λₓ = 8 pixels → padrão repete a cada 8 colunas.

Frequência

É o número de ocorrências de repetições por unidade do domínio independente. Exemplos:

• 60 Hz → 60 oscilações por segundo.
• 0,15 ciclos/pixel → 0,15 repetições por pixel (textura fina).

Definição

$x(t): \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

Vale ressaltar que um sinal é uma função que representa a evolução de uma quantidade física mensurável em relação a uma variável independente física também. Está atrelada a um contexto. Ou seja, todo sinal é uma função mas nem toda função é um sinal. Por exemplo: $f(t)=e^t$ não é um sinal, é apenas uma função crescente, sem unidade e contexto. Já $v(t)=3e^tu(t)$ é um sinal da descarga de um capacitor de um circuito elétrico onde $u(t)$ é uma função degrau, $v(t)$ representa a tenção em volts. Existe comportamento no mundo real.

Sinal Periódico

É um sinal que se repete exatamente da mesma forma após um intervalo de tempo fixo, chamado de "período". $x(t)=x(t+T) \text{, sendo }T\text{ o período.}$ Exemplos:

• Uma nota musical pura tocada continuamente
• O balanço de um pêndulo (sem atrito)
• Uma onda seno ou cosseno perfeita.

Para sinais periódicos existe de forma única e exata um período $T$ e uma frequência $f$. → E é aqui que entra a Série de Fourier!

Observação: No caso da imagem acima o domínio do sinal é espacial então o comprimento de onda $\lambda$ é tipo o período $T$ no domínio temporal.

Sinal Aperiódico

É um sinal que não se repete. Ele acontece uma vez, ou muda constantemente sem nunca criar um padrão exato. Exemplos:

• O som de uma batida de palmas
• Sua voz dizendo "Olá" (o sinal começa, acontece e termina)
• O som de um trovão. Na prática, a esmagadora maioria dos sinais que existem (são observáveis no mundo real) eles são aperiódicos.

Como um sinal aperiódico não se repete nunca, não existe um único período e uma única frequência. Em vez de uma única frequência/período $f_0$/$T_0$, um sinal aperiódico é composto de infinitos. → E é aqui que entra a Transformada de Fourier!

Série de Fourier

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Um #Sinal Periódico pode ser representado como a soma de senos e cossenos.

$$x(t) = \underbrace{a_0}_{\text{termo DC (média)}} + \sum_{n=1}^{\infty} \underbrace{a_n \cos(2\pi n f_0 t)}_{\text{cossenos}} + \underbrace{b_n \sin(2\pi n f_0 t)}_{\text{senos}}$$

onde:

• $f_0 = 1/T$ $\equiv$ frequência fundamental
• $n = 1,2,3,...$ $\equiv$ harmônicas
• $a_n, b_n$ $\equiv$ amplitudes calculadas por integrais

ou, em fórmula complexa:

$$x(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n \cdot e^{j 2\pi n f_0 t}$$

DFT - Discrete Fourier Transform

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f[x, y] , e^{-j 2\pi \left(\frac{ux}{M} + \frac{vy}{N}\right)}$$ E a inversa:

f[x, y] = \frac{1}{MN} \sum_{u=0}^{M-1} \sum_{v=0}^{N-1}
F[u, v] , e^{j 2\pi \left(\frac{ux}{M} + \frac{vy}{N}\right)}

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