Discrete math

Igualdade

Um elemento é igual a outro $a=b$ se eles são exatamente a mesma coisa. $5=(4+1)$ .

Equivalência

No entanto, a equivalência depende de um contexto. "Comporta-se da mesma forma nesse contexto?"

Set Theory

Conjunto: É uma coleção de elementos distintos.

Union

$A \cup B = \{x \mid z\in A \text{ or } z \in B\}$

Intersection

$A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ and } x \in B\}$

Subset

$A \subseteq B \Leftrightarrow (\forall x, x \in A \Rightarrow x \in B)$ . A pode ser igual a B. $A \subset B \Leftrightarrow (A \subseteq B \text{ and } A \neq B)$ . Conjunto próprio

$\mathcal{P}(A) = \bigcup_{k=0}^{|A|} \binom{A}{k}$ É o conjunto com todas as combinações possíveis de um conjunto $A$ . $A = \{1, 2, 3\} \Rightarrow \mathcal{P}(A) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}, \{1,2,3\}\}$ . Vale ressaltar que a cardinalidade do conjunto potência é: $|\mathcal{P}(A)| = 2^{|A|}$ .

Reflection

Translation

Function Theory

Função: É uma regra que atribuí um valor de output para cada input. $f: A \to B \subset A \times B$ .

Domain: The set of all possible input values for a function.
Range: The set of all possible output values for a function.

Total Function

É quando todos os elementos do domínio estão associados. Ou seja, a função é aplicável em todos os elementos. Seja $g,f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ $f(x)=x^2 \text{ e } g(x)=1/x$ , podemos falar que $f(x)$ é total, porém, $g(x)$ é parcial já que não existe uma output para $x=0$ do domínio.

Numeric Sets

$\mathbb{N}$
$\mathbb{Z}$
$\mathbb{Q}$
$\mathbb{R}$
$\mathbb{C}$